סימן רי סעיף ח

מָקוֹם שֶׁנָּהֲגוּ לִשְׁאוֹל בִּשְׁלוֹם אֲבֵלִים בַּשַׁבָּת, שׁוֹאֲלִים. וְהָאָבֵל נוֹתֵן שָׁלוֹם לְכָל אָדָם בַשַׁבָּת, כִּי דָבָר שֶׁבְּפַרְהֶסְיָא הוּא.

In a place where it is customary to greet the mourners on Shabbos, you may do so. The mourner may greet everybody on Shabbos since it is done publicly.

תנא דבי אליהו כל השונה הלכות בכל יום מובטח לו שהוא בן העולם הבא שנאמר הליכות עולם לו אל תקרי הליכות אלא הלכות (נדה ע"ג.)